Vektorräume - Dimension, Basis

[DeepDarkOcean]

Ist keine Hausaufgabe in dem Sinne, aber passt hier schon rein (und besonders viel los ist hier ja eh nie).

Alsooo, in der Schule hatte ich Vektoren nie, und jetzt im Studium wird da ein bisschen durchgerusht. Ich hab also keine Ahnung ob man über die Dimension eines Vektorraumes schon in der Schule spricht. Egal, vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Laut den Vorlesungsfolien bezeichnet die Dimension r eines Vektorraumes V die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren in V.
Ich hab mir das bildlich so vorgestellt, dass es die Anzahl an möglichen Richtungen eines Vektors angibt. Also wären das in R² unendlich viele, da ein Vektor vom Nullpunkt aus in unendlich viele Richtungen gehen kann, es also auch unendlich viele unabhängige Vektoren gibt.
Jetzt hab ich hier aber ein Beispiel, nach dem x1 = (1,1) und x2 = (1,-1) eine Basis von R² bilden (da sie linear unabhängig sind). Eine Basis sollte aber aus r Elementen bestehen - also ist die Dimension von R² = 2? Warum? D: