Mathe: Teilbarkeit

[phistoh]

So, ich habe folgende Aufgabe auf meinem Übungsblatt:


Das kann man ja ganz einfach per Induktion zeigen:
(a := 0:
(6*0+1)(12*0+1)(18*0+1)-1 = 0 => 12|0 (und 18|0)

a -> a+1:
(6a+7)(12a+13)(18a+19)-1
= (72a²+78a+84a+91)(18a+19)-1
= 1296a³ + 1368a² + 1404a² + 1482 + 1512a² + 1596a + 1638a + 1726 -1
= 1296a³ + 4284a² + 4716a + 1728

12 (und 18) ist Teiler von 1296; 4284; 4716; 1728.

Da a aus den Ganzen Zahlen fehlt noch:
a -> -a:
(-6a+1)(-12a+1)(-18a+1)-1
= (72a²-6a-12a+1)(-18a+1)-1
= -1296a³+72a²+324a²-18a-18a+1-1
= -1296a³ + 72a² -36a

12 (und 18) ist Teiler von -1296; 72; -36)

Aber das ist ja ein wenig rudimentär. Gibt es da einen coolen zahlentheoretischen Trick, den ich noch nicht gesehen habe?

[Niels]

Ich würde auf Induktion verzichten, weil man es auch direkter zeigen kann. Ich würde einfach die Klammern ausmultiplizieren. Dann kannst du entweder bei jedem der Summanden zeigen, dass er durch 12 (bzw. 18) teilbar ist - was trivial ist - und dann schlussfolgern, dass auch die Summe durch 12 (bzw. 18) teilbar ist, oder aber bei dem ausmultiplizierten Term einfach den Faktor, dessen Teilbarkeit du zeigen willst, ausklammern (die Klammer die übrig bleibt ist in diesen beiden Fällen immer ne ganze Zahl).

[phistoh]

Hm, das ist natürlich sinnvoller, als es mit Induktion zu zeigen.
Dann muss ich ja zeigen, dass 1296a³+396a²+36a durch 12 (bzw. 18) teilbar ist.

36 ist offensichtlich durch 12 und 18 teilbar.
396 = 360+36 ist auch durch beide teilbar.
1296 = 36+1200+60 ist durch 12 teilbar und
1296 = 396+900 ist durch 18 teilbar.
(Braucht man nicht mal einen Taschenrechner für. )

Und weil alle Summanden durch 12 (bzw. 18) teilbar sind, ist es die Summe auch. (Hatten wir irgendeinen Satz zu, müsste ich aber nochmal nachsehen, ansonsten muss ich das fix nachweisen)

Aber falls jemand noch eine andere Idee hat: Ich höre sie gerne.