Vektorräume - Dimension, Basis

[DeepDarkOcean]

Ist keine Hausaufgabe in dem Sinne, aber passt hier schon rein (und besonders viel los ist hier ja eh nie).

Alsooo, in der Schule hatte ich Vektoren nie, und jetzt im Studium wird da ein bisschen durchgerusht. Ich hab also keine Ahnung ob man über die Dimension eines Vektorraumes schon in der Schule spricht. Egal, vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Laut den Vorlesungsfolien bezeichnet die Dimension r eines Vektorraumes V die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren in V.
Ich hab mir das bildlich so vorgestellt, dass es die Anzahl an möglichen Richtungen eines Vektors angibt. Also wären das in R² unendlich viele, da ein Vektor vom Nullpunkt aus in unendlich viele Richtungen gehen kann, es also auch unendlich viele unabhängige Vektoren gibt.
Jetzt hab ich hier aber ein Beispiel, nach dem x1 = (1,1) und x2 = (1,-1) eine Basis von R² bilden (da sie linear unabhängig sind). Eine Basis sollte aber aus r Elementen bestehen - also ist die Dimension von R² = 2? Warum? D:

[phistoh]

In R^2 gibt es allerdings nur zwei Richtungen.

"schräg-oben" z.B. kannst du ja als Linearkombination von "rechts" und "oben" darstellen.

"rechts" allerdings ist linear unabhängig von "oben", da du keinen Faktor an "oben" ranmultiplizieren kannst, so dass du die Richtung
"rechts" bekommst.

So mal unmathematisch gesprochen.

/edit:
Wenn du einen Vektor (x,y) hast, dann kannst du den auch mit (1,0) und (0,1) darstellen: x * (1,0) + y * (0,1). Somit ist (x,y) keine "neue, unabhängige Richtung".

[DeepDarkOcean]

Dann hab ich mir wohl was anderes unter Richtungen vorgestellt o.o
Aber ja, macht schon irgendwie Sinn. Demnach hätte R^n dann immer die Dimension n?

Hab gerade ne Aufgabe in ner Altklausur gefunden - wenn man für R^4 vier Vektoren gegeben hat, und man zeigen soll dass diese eine Basis von R^4 bilden, muss man dann einfach nur zeigen dass sie linear unabhängig sind oder steckt da noch mehr dahinter?

[phistoh]

Genau. Der R^n hat immer Dimension n.

Ich kenn mich da auch nicht mehr so aus, aber die lineare Unabhängigkeit prüfen ist sinnvoll. Eventuell muss man noch zeigen, dass die gegebenen Vektoren reichen, um eine Basis zu bilden. (1,0,0,0) und (0,1,0,0) sind z.B. auch linear unabhängig aber noch keine Basis des R^4.